Wie entwickeln Kinder mathematische Kompetenz?

Bereits Säuglinge sind in der Lage, Mengen zu unterscheiden.
Der weitere Entwicklungsprozess von Kindern beim Rechnen lernen ist sehr komplex und hängt auch von der Ausbildung der Vorläuferfertigkeiten des Kindes ab.

Das Modell der mathematischen Kompetenzentwicklung (in Anlehnung an Fritz / Ricken / Gerlach) beschreibt mehrere Entwicklungsschritte, die nacheinander durchlaufen werden.
hier eine Überisicht der mathematischen Vorläuferfähigkeiten der MATHEMATIK-Seite „PIKAS; externe Verlinkung):

https://pikas.dzlm.de/pikasfiles/uploads/upload/Material/unterricht_neu/schulanfang/AKS/poster_aks.pdf

Stufe 0: Das Kind kann Dinge sortieren, vergleichen,
logische Reihen fortsetzen
und sich sicher im Raum bewegen 

Stufe 1:	Das Kind nutzt die Relationsbegriffe „mehr“, „weniger“, „größer“, „kleiner“ und kann die Zahlwortreihe aufsagen, wie zum Beispiel ein Gedicht.Dabei hat es aber noch kein Verständnis für die numerische Bedeutung der Zahlenwörter.
Stufe 2:	Das Kind nutzt die Zahlwortreihe, um eine Menge sicher in ordinalem Sinne „auszuzählen“. Es beherrscht die Zahlenwortreihe auch rückwärts.Schüler und Schülerinnen lernen auf dieser Stufe, durch Zählübungen, bei dem während des Zählens jeder Zahl ein Objekt zugeordnet wird, dass die Sequenzwörter (aus Stufe 1) zu Zahlwörtern werden, die in einer festen Reihenfolge stehen (ordinaler Zahlaspekt). Ferner lernen die Schüler und Schülerinnen auf dieser Stufe, dass sie Gegenstände zählen können, indem sie jedem Gegenstand ein Zahlwort zuordnen (1-zu1-Zuordnung). Damit können sie bereits einfache Aufgaben wie: Was sind drei blaue und vier rote Autos auszählen, ohne über ein Mengenbegriffsverständnis zu verfügen. Doch Vorsicht: Genau an dieser Stelle werden Schüler und Schülerinnen auf dieser Stufe häufig überschätzt. Diese Einsicht, dass gezählt werden muss, um eine Anzahl zu bestimmen, ist eine wichtige Erkenntnis zum kardinalen Verständnis (Mengenverständnis) und erfolgt erst in der nächsten Stufe.
Stufe 3:	Das Kind versteht, dass eine Zahl für eine Menge steht (Anzahl-Konzept). Warum hat diese Stufe eine besondere Bedeutung für das Rechnen lernen?Auf dieser Stufe lernen die Schüler*innen, dass die Zahlen die Anzahl der in ihnen enthaltenen Elemente repräsentieren. Sie entwickeln ein Mengenverständnis, d.h. sie entwickeln innere Bilder von Mengen. Das macht es ihnen möglich, sich vom zählenden Rechnen lösen zu können.Warum ist es für einige Schüler*innen besonders schwierig die Kompetenzen von Stufe 3 zu erlernen?Einigen Kindern fällt es schwer, innere Mengenbilder abzuspeichern. Deswegen verharren sie beim zählenden Rechnen. Sie machen die Erfahrung, dass sie damit auch zu Ergebnissen kommen können. Nicht allen Kindern gelingt es dabei den Zählfehler +1 und -1 zu verhindern, aber einige Schüler und Schülerinnen erreichen eine unglaubliche Routine beim fehlerfreien Zählen.Diese Kinder sollten wir besonders im Blick haben, und sie dabei unterstützen, innere Mengenbilder oder Mengenvorstellungen aufzubauen. Dabei sollten wir aber berücksichtigen, dass alle Kinder eine Phase durchleben, in der sie zählend rechnen. Das ist normal und im kleinen Zahlenraum eine mögliche Strategie. Wenn es im Unterricht verboten wird, ist das nicht zielführend!Für den größeren Zahlenraum ist es keine günstige Strategie, weshalb wir die Schüler und Schülerinnen unterstützen sollten, bis zum Ende der ersten Klasse das zählende Rechnen abzulösen.
Stufe 4:	Das Kind versteht, dass eine Menge beliebig zerlegt und wieder zusammengesetzt werden kann (Teil-Ganzes-Konzept). Es erfolgt die Verbindung des Teile-Ganzes Konzept mit der Mengenvorstellung. Die Schüler und Schülerinnen entwickeln ein Verständnis, dass Zahlen zerlegbar sind und aus anderen Zahlen zusammengesetzt werden können, und es erfolgt eine tiefe Einsicht in den Aufbau der Zahlwortreihe. Das Teile-Ganzes Prinzip ist so bedeutsam, weil es als zentrale Kompetenz für die Addition und Subtraktion gilt.
Stufe 5:	Das Kind nutzt sein Verständnis des Zerlegens für die Entwicklung flexibler Rechenstrategien.Warum können Sie nicht erwarten, dass alle Schüler und Schülerinnen in der ersten Klasse das Format der Platzhalteraufgaben (Wieviel plus 2=5, etc.) erlernen?Da einige Schüler und Schülerinnen in der ersten Klasse noch Probleme haben ein Mengenverständnis gemäß der 3. Stufe zu erwerben und keine Stufe übersprungen werden kann, ist es diesen Kindern auch nicht möglich bereits ein Verständnis für Platzhalteraufgaben zu entwickeln.Das muss man unbedingt in der ersten Klasse im Blick haben und entsprechend differenziert mit Platzhalteraufgaben im Unterricht umgehen.

Erläuterungen zum Kompetenzmodell: Geometrische Kompetenzen sind hier nicht dargestellt (Raum-Lage-Beziehungen, Flächen, Körper, …).

Das mathematische Kompetenzmodell stellt den komplexen Entwicklungsprozess eines Kindes beim Rechnen lernen dar. Auf dieser Grundlage können Entwicklungsstände von Kindern erfasst und nächste Entwicklungsschritte geplant werden.

Kurzdarstellung:

Der Mensch verfügt über zwei angeborene kognitive Schemata, die das Rechnen lernen vorbereiten:

1. Digital-sequenzielles Schema, welches die Grundlage für den Erwerb der Zahlwortreihe bildet.
2. Räumlich-analoges Schema, welches die Grundlage für den sich entwickelnden Mengenbegriff bildet.

Die Entwicklung beider Schemata kann bereits im Vorschulalter positiv beeinflusst werden, z.B. durch Spiele und Übungen mit Mengen und beliebigen Reihen.

Zum Einschulungszeitpunkt sollten die Kinder eine Vorstellung von Mengen bis 6 Elementen entwickelt haben und die Zahlwortreihe bis 10 sicher aufsagen können.

Im Verlauf des ersten Schuljahres geht es in erster Linie um die Integration dieser beiden Kompetenzen: Das Kind muss verstehen, dass die Zahl 6 sowohl für die Position 6 in der Zahlwortreihe steht (ordinaler Zahlbegriff) als auch für die Mächtigkeit einer Menge mit 6 Elementen (kardinaler Zahlbegriff).

Eine fundierte kardinale Zahlvorstellung (Mengenvorstellung) ist die entscheidende Voraussetzung für die Entwicklung flexibler nicht zählender Rechenstrategien.

Erläuterungen zu den einzelnen Entwicklungsschritten:

Vorschulische mathematische Basiskompetenzen

Das Kind ist in der Lage, …

• Anzahlen bis 4 simultan zu erfassen.
• eine unstrukturierte Menge zu zählen.
• Mengen zu vergleichen (mehr, weniger, größer, kleiner, gleich).
• die Zahlwortreihe bis 10 vorwärts aufzusagen.
• räumliche Beziehungen zwischen Gegenständen zu benennen (oben, unten, rechts, links, auf, unter).
• Unterschiede und Gemeinsamkeiten zu erkennen, wahrzunehmen, zu klassifizieren und Gegenstände entsprechend zu sortieren.
• Muster zu erkennen und fortzusetzen.
• einfache geometrische Formen zu benennen.
• Teilfiguren in einem komplexen Hintergrund zu erkennen und zu isolieren (Figur-Grund-Diskriminierung).
• Seheindrücke und Handbewegungen zu koordinieren (Auge-Hand-Koordination).

(in Anlehnung an MSB NRW 2021, S.81)

Zentrale Aktivitäten früher mathematischer Bildung

• die Zahlwortreihe aufsagen
• verschiedene Gegenstände/Personen etc. zählen
• Würfel- und Kartenspiele (Halli Galli, Mensch ärgere dich nicht, Hamstern, Räuber und Goldschatz…)
• Kreisspiele
• spielerisch verschiedene Zahldarstellungen einer Zahl zuordnen (Memory, Domino…)
• Anzahlen in der Umwelt erfassen und wahrnehmen
• Anzahlen vergleichen und sortieren
• geometrische Formen in der Umwelt erkennen
• geometrische Formen zeichnen und ausschneiden
• Schwungübungen durchführen
• Muster erkennen, fortsetzen und selber erfinden

Mathematik im Alltag

Beobachtungen im Alltag zeigen, dass Kinder oft auf natürliche Art und Weise Mathematik betreiben. Mathematik im Alltag ist z.B. in vielfältigen Ritualen im Tagesablauf zu finden, nämlich:

• im Morgenkreis die anwesenden Kinder zählen,
• bei den Mahlzeiten den Tisch decken,
• zu Geburtstagsfeiern Süßigkeiten verteilen,
• vor dem gemeinsamen Kochen einkaufen gehen und mit Geld bezahlen,
• beim Kuchenbacken die Zutaten abmessen und abwiegen,
• beim Zähneputzen die Zeit der Sanduhr einhalten,
• am Morgen das Datum und den Wochentag bestimmen,
• ein Türchen im Adventskalender aufmachen,
• beim Aufräumen Spielsachen ordnen und sortieren,
• beim Wimmelbücher anschauen Raum-Lage-Beziehungen verwenden (neben, unter, rechts von …)
• sich bei der Körperpflege im Spiegel beobachten,
• beim Spaziergang Formen von Verkehrszeichen erkennen oder Naturmaterialien sammeln, zählen, sortieren.

Die Situationen ergeben sich also im Alltag. Die Lernbegleiter (Eltern, Erzieherinnen, … sollten z.B.

• ein Gespür für mathematische Momente entwickeln, um bestimmte Situationen als mathematisch bedeutsam erkennen zu können,
• diese Momente im Alltag der Kinder begleiten,
• die mathematischen Ideen der Kinder einordnen und in Äußerungen der Kinder mathematisch bedeutsame Inhalte erkennen,
• mathematisch nachfragen und produktiv reagieren,
• mit Kindern über mathematische Sachverhalte in einen Dialog treten und ko-konstruktive Bildungsprozesse der Kinder untereinander moderieren.

Dementsprechend können Kinder also auf vielfältige Weise für Mathematik in ihrem Alltag sensibilisiert werden und zum mathematischen »Begreifen« ihrer Umwelt angeregt werden.

Materialien mit mathematischen Inhalten:

• Bausteine in verschiedenen Formen und Farben
• Gleiches Material in großer Menge, z.B. je 1000 Eisbecher, Eislöffel, kleine Holzwürfel, 1-Cent-Münzen … (vgl. K. Lee, 2010)
• Muggelsteine
• Geobretter, Tangram, Pentominos
• gemeinsam gesammelte Knöpfe, Wäscheklammern, Toilettenpapierrollen, Joghurtbecher, Schraubverschlüsse von Tetrapacks, Büroklammern…
• Legeplättchen in verschiedenen Formen und Farben (Dreiecke, Vierecke, Kreise)
• Verpackungsmaterialien
• Naturmaterialien (Nüsse, Kastanien, Steine, Muscheln, Zapfen …)
• Spielwürfel in verschiedenen Ausführungen

Hilfsmittel zum Forschen und Entdecken:

• vielfältige Messinstrumente (Waagen, Messbecher, Maßbänder, …)
• Zeichengeräte (Lineale, Schablonen, Zirkel …)
• Spiegel
• Stifte (Bleistifte, Buntstifte …)
• Material zur Erforschung von Zahlenräumen und zum Schätzen
• Taschenrechner
• mathematische Spiele
• Baumaterialien (Pappen, Schachteln, Röhren …)
• Nachschlagewerke und Sachbücher
• Kindersuchmaschinen im Internet

Mathematik im Spiel

Im Elementarbereich herrschen verschiedene spielerische Lernformen vor. Mathematische Bildung wird möglich, wenn die Kinder von sich aus mathematisch aktiv werden können, z.B. wenn sie

• in Rollenspielen, wie z.B. „Kaufmannsladen“, Zahlen- und Größenangaben verwenden,
• bei Bau- und Legespielen mit Formen und Bausteinen agieren,
• in Gesellschaftsspielen würfeln und Figuren setzen,
• sich bei Bewegungs- und Versteckspielen im Raum orientieren,
• bei Abzählreimen Zahlen verwenden,
• Perlen und Knöpfe auffädeln,
• beim Malen Muster oder Mandalas gestalten,
• beim Spielen etwas ausschneiden und falten,
• auf Fliesen hüpfen oder Labyrinthe durchlaufen,
• die Wippe nutzen oder um die Wette laufen,
• Sand oder Wasser in verschiedene Gefäße umfüllen.

Aktivitäten mit mathematischem Bezug sollten von den Lernbegleitern zunächst wahrgenommen werden und zu gegebener Zeit (um Spielaktivitäten auch nicht zu stören oder vorschnell zu unterbrechen) durch geschickte Impulse bzw. anregende offene Fragestellungen zu weiteren Denk- und Handlungsprozessen anregen. Dabei sollten die Kinder immer wieder Möglichkeiten erhalten, eigenen Denkwegen zu folgen und sich vertiefend mit mathematischen Phänomenen zu beschäftigen. Sie benötigen dazu Interaktionen mit einer Person, »die das mathematische Prinzip hinter ihrer Tätigkeit gemeinsam mit ihnen erschließt.« (Fthenakis u.a. 2009, S. 47). Eine solche Begleitung erfordert sowohl fachliche Professionalität als auch Sensibilität.

Mathematische Lerngelegenheiten ergeben sich jedoch nicht immer (was sie auch nicht müssen) und nicht jede Alltags- bzw. Spielsituation ist gleichermaßen mathematisch ergiebig. Ferner lassen sich natürlich auch Unterschiede zwischen den Kindern feststellen.

Manche Kinder finden zahlreiche Anregungen in ihrer Umwelt und werden von sich aus mathematisch tätig, ohne dass sich Erwachsene einmischen müssten. Andere Kinder jedoch benötigen stärkere Impulse, Ermunterungen bzw. Anregungen für das Sammeln mathematischer Erfahrungen. Dementsprechend sollte eine kindorientierte mathematische Bildung auch bewusst initiierte (offene) mathematische Lernsituationen einschließen.